Números Naturales y sus propiedades

                   ¿Cuáles son los números naturales?

Desde inicios de la humanidad, los seres humanos hemos tenido la necesidad de contar, al principio se utilizaban objetos como piedras o simplemente los dedos de las mano para poder contar, posteriormente desarrollaron símbolos para representar los elementos de un conjunto, dando así el origen de los números naturales y los sistemas de numeración.

Los números naturales son aquellos que usamos para contar los elementos de un conjunto. También los usados para realizar operaciones elementales de cálculo.

Se considera numero natural a todo aquel que forme parte de la sucesión o conjunto: N= (0, 1,2,3,…) dicho conjunto  empieza del cero y prosigue de una cantidad infinita de números.

Podemos o no incluir al cero como parte de los números naturales. Si tenemos la intención de incluir en el conjunto (como en el caso anterior) entonces se emplea la expresión ¨ enteros no negativos¨ y si no deseamos incluirlo ¨enteros positivos¨.

Propiedades de los números naturales.

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

(7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la multiplicación de números naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Todas estas propiedades hacen factible realizar operaciones con los números naturales.